Diketahui vektor-vektor \( \vec{u}=(a,a+1,2) \) dan \( \vec{v}=(1,1,1) \). Jika vektor proyeksi \( \vec{u} \) dan \( \vec{v} \) adalah \( \vec{w}=(2,2,2) \), maka panjang vektor \( \vec{u} \) sama dengan… (UM UGM 2019)
- \( \frac{3}{2} \)
- \( \frac{5}{2} \)
- \( \frac{3}{2} \sqrt{2} \)
- \( \frac{5}{2} \sqrt{2} \)
- \( \frac{1}{2} \)
Pembahasan:
Proyeksi vektor \( \vec{u} \) pada \( \vec{v} \) adalah \( \vec{w} \) sehingga dapat kita tuliskan berikut:
\begin{aligned} \vec{w} &= \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v} \\[8pt] (2,2,2) &= \left( \frac{(a,a+1,2)\cdot (1,1,1)}{ (\sqrt{1^2+1^2+1^2})^2 } \right) \cdot (1,1,1) \\[8pt] (2,2,2) &= \left( \frac{(a)(1)+(a+1)(1)+(2)(1)}{(\sqrt{3})^2} \right) \cdot (1,1,1) \\[8pt] (2) \cdot (1,1,1) &= \left( \frac{a+a+1+2}{3} \right) \cdot (1,1,1) \\[8pt] (2) \cdot (1,1,1) &= \left( \frac{2a+3}{3} \right) \cdot (1,1,1) \end{aligned}
Dari kesamaan di atas, kita peroleh:
\begin{aligned} \frac{2a+3}{3} = 2 &\Leftrightarrow 2a+3 = 6 \\[8pt] &\Leftrightarrow 2a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{2} \\[8pt] &\Leftrightarrow \vec{u} = (a, a+1, 2) = \left( \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, 2 \right) \\[8pt] &\Leftrightarrow |\vec{u}| = \sqrt{ \left( \frac{3}{2} \right)^2 + \left( \frac{5}{2} \right)^2 + 2^2 } \\[8pt] &\Leftrightarrow |\vec{u}| = \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{25}{4}+4} = \sqrt{\frac{50}{4}} = \frac{5}{2} \sqrt{2} \end{aligned}
Jawaban D.